Contributions to the theory of algebraic coding on finite fields and rings and their applications
Contributions à la théorie du codage algébrique sur les corps et les anneaux finis et ses applications
Abstract
Algebraic coding theory over finite fields and rings has always been an important research topic in information theory thanks to their various applications in secret shar- ing schemes, strongly regular graphs, authentication and communication codes. This thesis addresses several research topics according to the orientations in this context, whose construction methods are at the heart of our concerns. Specifically, we are inter- ested in the constructions of optimal codebooks (or asymptotically optimal codebooks), the constructions of linear codes with a one-dimensional hull, the constructions of min- imal codes, and the constructions of projective linear codes. The main contributions are summarized as follows. This thesis gives an explicit description of additive and multi- plicative characters on finite rings (precisely Fq + uFq (u2 = 0) and Fq + uFq (u2 = u)), employees Gaussian, hyper Eisenstein and Jacobi sums and proposes several classes of optimal (or asymptotically optimal) new codebooks with flexible parameters. Next, it proposes(optimal or nearly optimal) linear codes with a one-dimensional hull over fi- nite fields by employing tools from the theory of Gaussian sums. It develops an original method to construct these codes. It presents sufficient conditions for one-dimensional hull codes and a lower bound on its minimum distance. Besides, this thesis explores several classes of (optimal for the well-known Griesmer bound) binary linear codes over finite fields based on two generic constructions using functions. It determines their parameters and weight distributions and derives several infinite families of mini- mal linear codes. Finally, it studies (optimal for the sphere packing bound) construc- tions of several classes of projective binary linear codes with a few weight and their corresponding duals codes.
La théorie du codage algébrique sur les corps et les anneaux finis a une grande importance dans la théorie de l’information en raison de leurs diverses applica- tions dans les schémas de partage de secrets, les graphes fortement réguliers, les codes d’authentification et de communication. Cette thèse aborde plusieurs sujets de recherche selon les orientations dans ce contexte, dont les méthodes de construction sont au cœur de nos préoccupations. Plus précisément, nous nous intéressons aux constructions de codes optimaux (ou codes asymptotiquement optimaux), aux con- structions de codes linéaires à "hull" unidimensionnelle, aux constructions de codes minimaux et aux constructions de codes linéaires projectifs. Les principales contribu- tions sont résumé comme suit. Cette thèse fournie une description explicite des car- actères additifs et multiplicatifs sur les anneaux finis (précisément Fq + uFq (u2 = 0) et Fq + uFq (u2 = u)), utilise des sommes Gaussiennes, hyper Eisenstein et Jacobi et fournit plusieurs classes de nouveaux codes optimaux (ou asymptotiquement opti- maux) avec des paramètres flexibles, propose des codes linéaires (optimaux ou quasi- optimal) avec une "hull" unidimensionnelle sur des corps finis en utilisant des outils de la théorie de la somme Gaussienne. De plus, cette thèse explore plusieurs classes de codes linéaires binaires (optimaux pour la borne de Griesmer bien connue) sur des corps finis basés sur deux constructions génériques utilisant des fonctions. Aussi, elle détermine leurs paramètres et leurs distributions de poids et en déduit plusieurs familles infinies de codes linéaires minimaux. Enfin, elle étudie des constructions optimales de plusieurs classes de codes linéaires binaires projectifs avec peu de poids et leurs codes duaux correspondants.
Origin : Files produced by the author(s)